towerofPisa=;

gali=;

INTRODUCCIÓN

Importancia del transporte de energía para el IQM

Herramientas físicas para el estudio del transporte de energía.

PROBLEMA

¿Cómo generalizar las ecuaciones de conservación de energía y momento al caso de un fluido en movimiento?

OBJETIVOS

Comprender la importancia de la transferencia de energía para el Ingeniero Químico Metalúrgico.

Comprender la diferencia entre el enfoque Euleriano y Lagrangiano en la descripción del movimiento de un fluido.

Entender la ecuación de balance de cantidad de movimiento  como una generalización a un medio continuo de la 2ª ley de Newton.

Entender la ecuación de balance de energía en estado no estacionario, como una generalización a un medio continuo de la 1ª ley de la termodinámica.

MENÚ

IMPORTANCIA DE LA TRANSFERENCIA DE ENERGÍA PARA EL INGENIERO QUÍMICO METALÚRGICO.

GENERALIZACIÓN DE LAS LEYES DE LA FÍSICA DE LA PARTÍCULA A LAS DEL MEDIO CONTINUO

Enfoques Euleriano y Lagrangiano para el estudio de los fluidos.

Ecuación general de transferencia de energía.

¿Qué es un ingeniero?

La energía para el ingeniero

¿Dónde se compran BTU’s?

Unidades

DEFINICIÓN DE CALORÍA.
Una caloría es la cantidad de energía necesaria para aumentar 1 grado centígrado (14.5 a 15.5 C) la temperatura de 1 gramo de agua, en condiciones atmosféricas normales.

En el SI de unidades la unidad de energía es el Joule (La energía gastada para desplazarse un metro en contra de una fuerza efectiva de un Newton). Joule midió en el laboratorio el “equivalente mecánico del calor”  1 Cal = 4.186 J

Ejemplo.

En una libra de agua hay 453.59 gramos,  por lo tanto para elevar un grado centígrado una libra de agua hacen falta 453.59 calorías. Como además cada grado centígrado es 9/5 de  grado Farenheit, es necesario multiplicar por 5/9 las 453.59 calorías, para obtener el valor de un BTU, expresado en calorías.

1 BTU = (5/9) 453.59 = 252 Cal = 1054.85 J.

Ejemplo.
Consumo de energía domiciliaria

Framed[Grid[{
{"Electromestico","Aparato electrónico"},

{"kW",InputField[Dynamic[a]]},

{"Uso (h/dia)",InputField[Dynamic[b]]},

{"Horas al mes",Dynamic[30*b]},

{"kWh",Dynamic[a*30*b]},
{Grid[{{"De acuerdo al precio"} ,{"proporcionado por la CFE."}, {"Categoria: basico."}, {"Precio"}}],"$"InputField[Dynamic[c]]},
{"Total","$"Dynamic[c*a*30*b]}
},Frame->All],Background->GrayLevel[0.85],RoundingRadius->8]

La televisión consume 100 W = 0.1 kW.
La televisión está prendida 3 horas diarias, en un mes de 30 días son 90 horas totales. 
Para calcular los kW h se multiplica el consumo por el tiempo que está encendido el electrodoméstico.
0.1 kW x 90 h = 9 kW h 
Después se multiplican los kW h obtenidos por el precio de cada uno.
9 kW h x $ 0.793 = $ 7.137

En otros países donde el suministro de energía eléctrica lo realizan diferentes compañías el precio del KW h varía dependiendo de proveedor. Una tabla con ejemplos del caso español puedes verla siguiendo el enlace: https://tarifasgasluz.com/faq/precio-kwh

Actividad.

1. Utiliza los datos que se proporcionan en la siguiente tabla, para estimar el costo mensual del consumo de energía en tu casa.
2. Usando los datos de la tabla de variación temporal del BTU estima el costo máximo y mínimo de tu consumo energético 
3. ¿Cuál es el rubro de mayor gasto en tu hogar?
4. ¿Qué medidas propondrías para disminuir el consumo de Energía en un 10%?
5. Si el proveedor de energía fuera alguna de las compañías españolas mencionadas, cuál sería el costo del consumo mensual de energía en tu casa?
6. Busca en Internet algun sitio de producción de energía eléctrica con captores solares y analiza las posibilidades de ahorro, en tu caso, utilizándolos.

La energía para el científico

GENERALIZACIÓN DE LAS LEYES DE LA FÍSICA DE LA PARTÍCULA A LAS DEL MEDIO CONTINUO

ECUACIONES DE BALANCE PARA UN FLUJO EN MOVIMIENTO (Partícula  y medio continuo)

El medio continuo es una idealización. Sabemos que existen, como decía Demócrito, los átomos y el vacío

Framed[Manipulate[Graphics[{Inset[towerofPisa,Center,Center,{1,1}],Inset[gali,{.615,.88},Center,{.05,.05}],Line[{{0,0},{1,0}}],Disk[{.65,.85-1/2 .98(t^2)},m1/30],Disk[{.72,.85-1/2 .98(t^2)},m2/30]},PlotRange->{{0,1},{0,1}},ImageSize->{400,400}],
{{t,0,"time"},0,1.27,ControlType->Trigger},
{{m1,.15,"(Subscript[m, 1])"},.1,.8},
{{m2,.3,"(Subscript[m, 2])"},.1,.8},SaveDefinitions->True],Background->GrayLevel[0.85],RoundingRadius->8]

BALANCE DE MASA, ENERGÍA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO

La generalización, al caso de un medio continuo de las ecuaciones de conservación de masa, energía y momento se obtienen mediante el balances de la magnitud física de interés en un volumen de control.

BALANCE. VOLÚMEN DE CONTROL

BALANCE DE MASA (ecuación de continuidad)

((∂ρ)/(∂t))+∇▫(ρu)=0
∇▫ρ=0

BALANCE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO (ecuación de Navier-Stokes)

ρ((Dρ)/Dt)=-∇P-[∇▪τ]+ρg
 Se llama la derivada material ó total
La ecuación también admite simplificaciones.

¿CÓMO CALCULAR LA DERIVADA MATERIAL?

Para poder describir el movimiento de las partículas hay que darse un marco de referencia.
 
Existen dos posibilidades:
•	El enfoque de Lagrange
•	El enfoque de Euler

Lagrange “persigue” a las partículas (marcaje hombre a hombre).
Euler se fija en una región del espacio (marcaje por zona).

LAGRANGE VS EULER

UN POQUITO DE MATEMÁTICAS

Framed[Manipulate[VectorPlot3D[{x,y,z},{x,-1,xmax},{y,-1,ymax},{z,-1,zmax}],{xmax,0,10},{ymax,0,10},{zmax,0,10}],Background->GrayLevel[0.85],RoundingRadius->8]

En el enfoque de Euler la velocidad es un campo vectorial. A cada punto del espacio se asocia un valor de  (Subscript[v, x])(x,y, z),  (Subscript[v, y])(x,y, z) y  (Subscript[v, z])(x,y, z).

LA REGLA DE LA CADENA

Para derivar vx, vy  o vz, con respecto al tiempo se usa la regla de la cadena:
((Subscript[dv, x])/dt)=((∂(Subscript[v, x]))/(∂x))(dx/dt)+((∂(Subscript[v, x]))/(∂y))(dy/dt)+((∂(Subscript[v, x]))/(∂z))(dz/dt)

((Subscript[dv, y])/dt)=((∂(Subscript[v, y]))/(∂x))(dx/dt)+((∂(Subscript[v, y]))/(∂y))(dy/dt)+((∂(Subscript[v, y]))/(∂z))(dz/dt)

((Subscript[dv, z])/dt)=((∂(Subscript[v, z]))/(∂x))(dx/dt)+((∂(Subscript[v, z]))/(∂y))(dy/dt)+((∂(Subscript[v, z]))/(∂z))(dz/dt)

LA DERIVADA MATERIAL(TOTAL)

U(X,Y,Z,t);  X(t),  Y(t),  Z(t)

(dU/dt)=((∂U)/(∂t))+((∂U)/(∂x))(dx/dt)+((∂U)/(∂y))(dy/dt)+((∂U)/(∂z))(dz/dt)

(DU/Dt)=((∂U)/(∂t))+(Subscript[v, x])((∂U)/(∂x))+(Subscript[v, y])((∂U)/(∂y))+(Subscript[v, z])((∂U)/(∂z))

LA DERIVADA MATERIAL(TOTAL)

Conducción. Requiere la presencia de un objeto conductor
Ecuacion de Fourier
(Subscript[q, k])=-kA(dT/dX)

Convección. Requiere la presencia de un «vector» un fluido
Ley de enfriamiento de Newton:
(Subscript[q, c])=(OverTilde[(Subscript[h, c])])AΔT

Radiación. No requiere de un medio para transmitirse. 
Ley de Stefan-Botzmann: 
(Subscript[q, r])=(Subscript[σA, 1])((Subscript[T, 1])^4)

BALANCE DE ENERGÍA

1ª ley de  la termodinámica

d(OverHat[U])=dq-dw

{({{Velocidad de}, {acumulacion de energia}, {cinetica e interna}})}={({{Velocidad de entrada}, {de energia cinetica e}, {interna por conveccion}})}-{({{Velocidad de salida }, {de energia cinetica e}, {interna por conveccion}})}+{({{Velocidad neta de }, {adicion de calor por}, {conduccion}})}-{({{Velocidad neta de }, {trabajo por el sistema}, {a los alrededores}})}

MATEMATICAMENTE

ECUACIÓN DE BALANCE

(∂/(∂t))ρ((OverHat[U])+(1/2)(u^2))=-(∇▪ρu((OverHat[U])+(1/2)(u^2)))-(u▪q)+ρ(u▪g)-(∇▪pu)-(∇▪[τ▪u])

ECUACIÓN DE BALANCE

Es necesario además una ecuación de estado, que relacione las variables termodinámicas.

Por ejemplo: PV = nRT

Y relaciones termodinámicas, como las definiciones de Cp o Cv

(Subscript[C, c])=(1/(ρv))(Subscript[((dq/dt)), p])
(Subscript[C, P])=(1/(ρv))(Subscript[((dq/dt)), V])

ECUACIONES DE BALANCE PARA UN FLUJO EN  MOVIMIENTO (Partícula y medio continuo)

({{Fisica de la particula, Medio continuo}, {Conservacion de la masa, ((∂ρ)/(∂t))+∇▪(ρu)=0}, {Conservacion de la energia, (Subscript[ρC, p])(DT/Dt)=k(∇^2)T-T(Subscript[(((∂ρ)/(∂T))), ρ])(∇▪u)+(Subscript[μϕ, u])}, {Conservacion del momento, ρ(DT/Dt)-∇P-[∇▪τ]+ρg}})

Referencias

Landels J.G. “Engineering in the ancient World” University of California Press 1978

Petroski H. “The essential Engineer” Vintage Books 2010.

Mardsen J. E, Tromba A. J. “Cálculo vectorial” Addison-Wesley Iberoamericana 1991

http://desarmandolamafia.blogspot.mx/2017/08/la-fes-c-exporta.html

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE110517