TRANSFERENCIA DE CALOR EN ESTADO NO ESTACIONARIO:
ANTECEDENTES Y SOLUCIÓN EN COORDENADAS CARTESIANAS

PROBLEMA

¿Cómo se obtiene el perfil de temperaturas, cuando hay dependencia del tiempo?

OBJETIVOS

Entender la ecuación de difusión como un caso límite de la ecuación general de balance de energía.

Conocer el criterio para determinar en qué casos se puede considerar una transferencia de calor “instantánea”.

Resolver problemas en los cuáles se puede considerar que no existe un gradiente de temperatura..

Conocer diferentes métodos analíticos y computacionales  para la solución de la ecuación de calor.

Conocer diferentes métodos analíticos y Resolver problemas de conducción de calor en estado no estacionario en geometría cartesiana.

MENÚ

ANTECEDENTES: 
•	Perfiles de Temperatura
•	Ecuaciones de balance para un fluido en movimiento.
•	Enfoques Euleriano y Lagrangiano
•	Concepto de campo y derivada material (total)
•	Ecuación de difusión

CONDUCTIVIDAD INFINITA. Ejemplo

CONDUCTIVIDAD FINITA	(con gradientes)

ECUACIÓN DE DIFUSIÓN (condiciones a la frontera y geometría)

MÉTODOS DE RESOLUCIÓN

ANTECEDENTES

PERFILES DE TEMPERATURA

• Hasta esta parte del curso, los perfiles de temperatura que hemos visto sólo dependen de la posición y  no varían con el tiempo.
Eso se consigue gracias a que continuamente se proporciona energía al sistema (calefactor, por ejemplo) para compensar la pérdida.
Lo “natural” sería que los perfiles cambiaran
 con el tiempo. Es decir T (x, t)

EVOLUCIÓN TEMPORAL DEL PERFIL DE TEMPERATURAS

EVOLUCIÓN TEMPORAL DEL PERFIL DE TEMPERATURAS

({{, }})

T (X,t) puede obtenerse experimentalmente.
Cuando T no depende del tiempo, lo pudimos conocer  a través de una ecuación.

-(Subscript[K, 01])((Subscript[dT, 01])/dx)=(Subscript[q, 0])                       -(Subscript[k, 12])((Subscript[dT, 12])/dr)=(Subscript[r, 0])(Subscript[q, 0])

¿Existe una ecuación para conocer T cuando depende del tiempo?
La respuesta corta es sí:
		Se llama la ecuación de difusión.

ECUACIONES DE BALANCE PARA UN FLUJO EN MOVIMIENTO (partícula y Medio continuo)

Grid[{{Text[Style["
FISICA DE LA PARTICULA
",White]],Text[Style["MEDIO CONTINUO
",White]]},{"Conservación de la masa
","((Δp)/(Δt)) + ∇ (pu)=0
"},{"Conservación de la energía"
,"ρ (Subscript[C, p ])(Dp/Dt) = k (∇^2)T - T (((ΔP)/(Δt)))_p (∇v) + μ (Subscript[Φ, ξ])
"},{"Conservación del momento
","P(Dp/Dt) = -∇P -[∇τ] + pg
"}
},Background->{None,{RGBColor["#4e81bd"],RGBColor["#d0d8e8"],RGBColor["#e9edf4"],RGBColor["#d0d8e8"]}}]

CASOS PARTICULARES

FLUIDO INCOMPRESIBLE, NO VISCOSO Y UNIDIMENSIONAL

Cuando el fluido es incompresible, se anula  el término:

T(((∂p)/(∂t)))p(∇v)

Cuando no hay fuerzas de fricción se anula el término:

μ (Subscript[Φ, ξ])

Y la ecuación general de balance de energía se escribe:

ρ (Subscript[C, p ])(Dp/Dt) = k (∇^2)T

En el caso de transporte en una sola dimensión, toma la forma:

((∂T)/(∂t))=α(((∂^2)T)/(∂(x^2)))(α=k/(Subscript[pC, p]))

De manera adimensional:

((∂Y)/(∂t))=α(((∂^2)Y)/(∂(x^2)))    Y=(((Subscript[T, 1])-T)/((Subscript[T, 1])-(Subscript[T, 0])))

Conductividad infinita ejemplo

Conductividad infinita (gradiente cero)

(Subscript[C, p])=(1/m)(dq/dT)      dq=(Subscript[C, p])V dT

dq=hA((Subscript[T, ∞])-T) dT=dq=(Subscript[C, p])pV dT

(∫_(T=(Subscript[T, 0]))^(T=T))(1/((Subscript[T, ∞])-T))dT=(hA/((Subscript[C, p])pV))(∫_(t=0)^(t=t))dt

((T-(Subscript[T, ∞]))/((Subscript[T, 0])-(Subscript[T, ∞])))=(e^(-(h A/(Subscript[C, p])pV)t))

NUMERO DE BIOT

Velocidad de enfriamiento

(dT/dt)=-((Subscript[T, 0])-(Subscript[T, ∞]))(h A/(Subscript[C, p])pV)(e^(-(h A/(Subscript[C, p])pV)t))

Criterio de validez de la aproximación de “gradiente cero”

(Subscript[N, Bi])=((Subscript[hx, 1])/k)<0.1

(Subscript[N, Bi]) es el numero de Biot

EJEMPLO

Una esfera de acero de radio 1 pulgada con temperatura inicial de 800 °F se sumerge en un medio a 250°F. ¿Cuál es la temperatura de la esfera después de 1 hora? si h=2.0 Btu/hr. (Ft^2)°F

Repetir el mismo ejercicio para diferentes geometrías (diferentes x1 y materiales (diferentes k).

Den ejemplos de materiales para los que no aplique la aproximación de gradiente cero.

Solucion

CONDUCTIVIDAD FINITA (EXISTENCIA DE GRADIENTES)

Si k no es infinita, la ecuación de difusión describe la conducción de calor en estado no estacionario, cuando no hay fuentes internas de generación de calor.

•	Esta ecuación, escrita dimensional o adimensionalmente, representa una gran familia de fenómenos
•	Para aplicarla a la solución de un caso particular es necesario fijar: 

	•	La geometría (Rectangular,  cilíndrica, 1D, 2D…) 
	•	Las condiciones iniciales y de frontera que lo describen.

MÉTODOS DE RESOLUCIÓN VENTAJAS Y DESVENTAJAS

Grid[{{"MÉTODO","DESVENTAJAS","VENTAJAS"},
{},
{"Analítico
Separación de variables. “A pie”","Sólo aplica a unas pocas geometrías simples.","Es “exacto”"},
{},
{"Analítico computacional.
Mathematica
Maple","Requiere una infraestructura de cómputo.","Es un método análitico
"},
{},
{"Numérico:
Diferencias finitas y elemento finito. 
","Como usuarios se procede “a ciegas” o bien hay que aprender métodos numéricos y a programar.","Existen muchos códigos libres ya programados (Fortran, C, etc.) para los principales casos."},
{},
{"Tablas y gráficas.(Geankoplis, Bird, Kreith…)","No son muy precisas. Hay que encontrar la que corresponde al caso particular.","Son muy accesibles Prácticamente no hay que hacer cálculos"},
{},
{"Excel","No es un método de cálculo.",Grid[{{"Permite programar el algoritmo de diferencias o elemento finito."},{"Permite graficar soluciones obtenidas analíticamente."}}]}
}]

EJEMPLO DE SOLUCIÓN ANALÍTICA «A PIE». PLACA DE ESPESOR 2H

Una placa de espesor 2H  que está a una temperatura (Subscript[T, 0]), se coloca entre dos planchas a temperatura (Subscript[T, 1]), encontrar el perfil de  temperatura T(x) para cualquier tiempo t, posterior.

La Ecuación es

((∂T)/(∂t))=α(((∂^2)T)/(∂(x^2)))   con   α=k/ρ (Subscript[C, p])

La Condición Inicial:T=(Subscript[T, 0]) en t=0 y x=x

La Condición en la frontera Izquierda:T=(Subscript[T, 1]) en t=t y x=0

La Condición en la frontera derecha:T=(Subscript[T, 1]) en t=t y x=2H

SEPARACIÓN DE VARIABLES

Se propone una solución de la forma:

T (x,t)=X(x) Τ (t)

Se realiza la derivada temporal:
((∂T)/(∂t))=X(x)(dT/dx)

Se realiza la doble derivada espacial:
(((∂^2)T)/(∂(x^2)))=T(t)(((d^2)X)/(dx^2))

Se sustituye dentro de la ecuación de difusión:
(1/α)x(x)(dT/dt)=(((d^2)X)/(dx^2))

Se divide entre T(x,t)=X(x) Ʈ(t),con lo que las variables quedan separadas
(1/α)(1/(T(t)))(dT/dt)=(1/(X(x)))(((d^2)X)/(dx^2))

Como ambas ecuaciones dependen de variables diferentes,deben ser-ambas-iguales a una constante λ:
(1/α)(1/(T(t)))(dT/dt)=λ=(1/(X(x)))(((d^2)X)/(dx^2))

Lo que lleva al sistema de ecuaciones:
(dT/dt)=λ α T(t)      (((d^2)X)/(dx^2))=λ X(x)

USANDO LAS CONDICIONES A LA FRONTERA

Para la parte espacial debe tratarse de una solución ondulatoria,que con las condiciones de frontera lleva a:
(Subscript[X, n])=Sin[((Subscript[λ, n])/(2H))]x     (Subscript[λ, n])=(2n+1)

La parte temporal es una exponencial
(Subscript[T, n])(t)=(e^(-(((((Subscript[λ, n])/(2H))π))^2)))at
Con lo cual:
(Subscript[X, n])(Subscript[T, n])(t)=Sin[((Subscript[λ, n])/(2H))]x (e^(-(((((Subscript[λ, n])/(2H))π))^2)))αt

SOLUCIÓN GENERAL

El producto:
(Subscript[X, n])(Subscript[T, n])(t)=Sin[((Subscript[λ, n])/(2H))]x (e^(-(((((Subscript[λ, n])/(2H))π))^2)))αt
es entonces una familia de soluciones de la ecuación
((∂T)/(∂t))=α(((∂^2)T)/(∂(x^2)))
etiquetadas por el parámetro n

La solución general será una serie infinita de ese tipo de productos:

∑(Subscript[A, n])(Subscript[X, n])(Subscript[τ, n])(T)=∑(Subscript[A, n])Sin(((Subscript[λ, n])/(2H)))x(e^(-(((((Subscript[λ, n])/(2H))π))^2)))at

SOLUCIÓN GENERAL

Los valores de las condiciones iniciales y a la frontera de cada problema particular sirven para fijar los valores de las constantes,con lo cual,en este caso:

La solución particular es:

(((Subscript[T, 1])-T)/((Subscript[T, 1])-(Subscript[T, 0])))=(4/π)((1/1)exp[((-(1^2)(π^2)αt)/(4(H^2)))]Sin[((1πx)/(2H))]+(1/3)exp[((-(3^2)(π^2)αt)/(4(H^2)))]Sin[((3πx)/(2H))]+(1/5)exp[((-(5^2)(π^2)αt)/(4(H^2)))]Sin[((5πx)/(2H))]+...)

COMENTARIOS

Una ecuación en derivadas parciales de 2do orden se transformó en un sistema de dos ecuaciones ordinarias.

La ecuación temporal debe cumplir las condiciones iniciales.

La ecuación espacial debe cumplir las condicione de frontera.

Existe un número infinito de valores de λ para los que se cumplen las condiciones de frontera.

Cada uno de esos valores se llama valor propio (Eigen valor) y se denota (Subscript[λ, n])

Existe un número infinito de funciones que son solución de la ecuación Espacial (Eigen funciones) y se denotan por (Subscript[X, n])(x)

Cada una de las eigen funciones (Subscript[X, n])(x) está asociada a un eigen valor (Subscript[λ, n])

Existe por lo tanto un número infinito de productos n(x)(Subscript[T, n])(t) que son soluciones de la ecuación de difusión.

La solución general es la suma infinita de todos los productos (Subscript[X, n])(x)(Subscript[T, n])(t)multiplicados por una constante.
T(x,t)=Σ (Subscript[C, n])(Subscript[X, n])(x)(Subscript[T, n])(t)

La solución particular se obtiene calculando (Subscript[C, n]) a partir de las condiciones iniciales.

OTRO EJEMPLO DE SOLUCIÓN ANALÍTICA «A PIE»: SÓLIDO SEMI-INFINITO

La ecuación otra vez es la misma:
((∂T)/(∂t))=α(((∂^2)T)/(∂(x^2)))
Pero diferentes condiciones iniciales:
T=(Subscript[T, i])     en      t=0
y de frontera:
(Subscript[T, x])(0,t)=(Subscript[T, s])
(Subscript[T, x])(x->∞,t)=(Subscript[T, i])

Variable de similaridad. Temperatura constante en la superficie.

En este caso no funciona el método de separación de variables directamente,debido a que el medio es semi infinito,por lo tanto es necesario otro enfoque,el de la variable de similaridad.Hacemos el cambio de variable:
η=(x/(Sqrt[4α t]))
Con lo cual la ecuación diferencial en derivadas parciales se convierte en una ecuación ordinaria:
(((d^2)T)/(d (η^2)))=-2η ((d T)/(d η))
Con las condiciones a la frontera.
T(0)=(Subscript[T, s])     y     T(n->∞)=(Subscript[T, i])     y     T(x,0)=(Subscript[T, i])

Solución de la ecuación

Hacemos el cambio de variable: w =((d T)/(d η))
((d w)/(d η))=-2 η w -> ((d w)/w)=-2η d η -> ln w =- (η^2)+(Subscript[C, 0]) -> w=(Subscript[C, 1])(e^(-(η^2))) 
Con     (Subscript[C, 1])=ln (Subscript[C, 0])
Regresando a la variable w:
T=(Subscript[C, 1])(∫_0^η)(e^(-(u^2)))du+(Subscript[C, 2])

Condiciones a la frontera

η=0     lleva a     (Subscript[C, 2])=(Subscript[T, s])
η->∞     lleva a     (Subscript[T, i])=(Subscript[C, 1])(∫_0^η)(e^(-(u^2)))du+(Subscript[C, 2])=(Subscript[C, 1])((Sqrt[π])/2)+(Subscript[T, s])-> (Subscript[C, 1])=((2((Subscript[T, i])-(Subscript[T, s])))/(Sqrt[π]))
Sustitutendo     ((T-(Subscript[T, s]))/((Subscript[T, i])-(Subscript[T, s])))=(2/(Sqrt[π]))(∫_0^η)(e^(-(u^2)))du=erf(η)=(2/(Sqrt[π]))(∫_0^η)(e^(-(u^2)))du

Plot[{Erf[x],Erfc[x]},{x,0,2},PlotLabels->"Expressions"]

erf(η)=(2/(Sqrt[π]))(∫_0^η)(e^(-(u^2)))du
erfc(ζ)=1-(2/(Sqrt[π]))(∫_0^η)(e^(-(u^2)))du

Framed[Grid[{
{"η",InputField[Dynamic[et]]},

{"Erf",Dynamic[Erf[et]]},

{"Erfc",Dynamic[Erfc[et]]},
{"Erf + Erfc",Dynamic[Erf[et]+Erfc[et]]}},Frame->All],Background->GrayLevel[0.85],RoundingRadius->8]

SOLUCIÓN ANALÍTICA. Temperatura constante en la superficie.

img1=;
img2=;
Grid[{
{img1,img2},
{"(Subscript[T, s]) = constante","\!\(\*
StyleBox[FractionBox[
RowBox[{
RowBox[{"T", 
RowBox[{"(", 
RowBox[{"x", ",", "t"}], ")"}]}], "-", SubscriptBox["T", "i"]}], 
RowBox[{SubscriptBox["T", "s"], "-", SubscriptBox["T", "i"]}]],
FontSize->18,
FontWeight->"Bold"]\)=erfc((x/(2(Sqrt[αt]))))"}}]

SOLUCIÓN ANALÍTICA. Flujo de calor constante en la superficie.

img3=;
Grid[{{img1,img3},{"(Subscript[q, s])=constante","T(x,t)-(Subscript[T, i])=((Subscript[q, s])/k)[(Sqrt[((4α t)/π)])exp(((-(x^2))/(4α t)))-x erfc((x/(2(Sqrt[αt]))))]"}}]

SOLUCIÓN ANALÍTICA. Convección en la superficie.

img4=;
Grid[{{img1,img4},{"(Subscript[q, s])(t)=h[(Subscript[T, ∞])-T(0,t)]","\!\(\*StyleBox[FractionBox[StyleBox[RowBox[{RowBox[{"T", RowBox[{"(", RowBox[{"x", ",", "t"}], ")"}]}], "-", SubscriptBox["T", "i"]}],FontSize->16,FontWeight->"Bold"], RowBox[{SubscriptBox["T", "∞"], "-", SubscriptBox["T", "i"]}]],FontSize->16,FontWeight->"Plain"]\)=erfc((x/(2(Sqrt[αt]))))-exp((hx/k)+(((h^2)αt)/(k^2))[erfc((x/(2(Sqrt[αt])))+((h(Sqrt[α t]))/k))]"}}]

SOLUCIÓN ANALÍTICA. Pulso de energía en la superficie.

img5=;
Grid[{{img1,img3},{"(Subscript[e, s])=cpmstante","T(x,t)-(Subscript[T, i])=\!\(\*StyleBox[FractionBox[SubscriptBox[StyleBox["e",FontSize->16,FontWeight->"Bold"], "s"], RowBox[{"k", SqrtBox[RowBox[{"π", " ", RowBox[{"t", "/", "α"}]}]]}]],FontSize->18,FontWeight->"Plain"]\)exp(-((x^2)/(4α t)))"}}]

Una buena referencia para los aspectos teóricos de la solución analítica de esta ecuación es  capítulo 18 del libro “Fundamentals of Thermal Fluid Sciences” de Yunus Cengel & Robert Turner.

Condiciones de frontera para diferentes casos.

Aunque la ecuación que describe la transferencia de calor es la misma para diferentes casos físicos, no lo son las condiciones a la frontera. Son las condiciones a la frontera las que caracterizan el problema y definen su solución.  En el caso del sólido semiinfinito vimos las siguientes posibilidades:

Grid[
{
{"Condición","Expresión"},
{"Temperatura constante en la superficie.","(Subscript[T, s])=Cte"},
{"Flujo de calor constante en la superficie.","(Subscript[q, s])=Cte"},
{"Convección en la superficie.","(Subscript[q, s])=h[(Subscript[T, ∞])-T(0,t)]"},
{"Pulso de energía en la superficie.","(Subscript[e, s])=Cte"}
},Background->{None,{RGBColor["#4e81bd"],RGBColor["#d0d8e8"],RGBColor["#e9edf4"],RGBColor["#d0d8e8"],RGBColor["#e9edf4"]}}
]

También en caso de la placa de espesor 2H es necesario cambiar las condiciones a la frontera cuando cambia la situación física. Por ejemplo cuando hay transferencia de calor a través de las paredes. El Kreith resuelve en el cap 2 un ejemplo de ese tipo.

EJEMPLO DE SOLUCIÓN ANALÍTICA CON MATHEMATICA: CONDUCCIÓN DE CALOR EN UNA PLACA BIDIMENSIONAL

Considere la ecuación:
((∂T)/(∂t))=α((((∂^2)T)/(∂(x^2)))+(((∂^2)T)/(∂(y^2))))
Con las siguientes condiciones de frontera e iniciales
T(0,y,t)=(Subscript[0, t])
T(1,y,t)=(Subscript[0, t])
T(x,1,t)=(Subscript[0, t])
T(x,0,t)=(Subscript[10, t])
T(x,y,0)=(Subscript[0, t])

Manipulate[
Module[{plt,tbl3,tbl4,sol,T,tbl},
tbl=(A.Table[T[k][t],{k,1,Nx Nx}])-b;sol=NDSolve[Flatten[{Table[1/alpha 1/(Nx+1)^2 T[k]'[t]== tbl[[k]],{k,1,Nx Nx}],Table[T[k][0]== 0,{k,1,Nx Nx}]}],Table[T[k],{k,1,Nx Nx}],{t,0,100}];tbl3=Table[Join[{{0,j/(Nx+1),0}},Table[{i/(Nx+1),j/(Nx+1),T[i+(j-1) Nx][t]/.sol/.t-> time//First},{i,1,Nx}],{{1,j/(Nx+1),0}}],{j,1,Nx}]//N;tbl4=Join[Table[{i/(Nx+1),0,10},{i,0,Nx+1}],Flatten[tbl3,1],Table[{i/(Nx+1),1,0},{i,0,Nx+1}]]//N;plt=ListContourPlot[tbl4,ColorFunction-> "Pastel",Contours-> 20,ContourLabels-> All,ImageSize-> 450{1,1}]],{{time,0.02,"tiempo"},0.02,0.3,0.001,Appearance-> "Labeled"},{{alpha,1,"difusividad térmica"},0.1,3,0.1,Appearance-> "Labeled"},
SynchronousInitialization->False,
Initialization:> (
Nx=25;
Ny=25;A=SparseArray[{{i_, i_}->-4.,{i_,j_}/;((i-j )==1&&Mod[j,Nx]≠ 0)->1.,{i_,j_}/;(i-j==-1&& Mod[i,Nx]≠ 0)-> 1.,{i_,j_}/;(i-j== Nx )->1. ,{i_,j_}/;j-i== Nx-> 1.},{Nx Nx,Nx Nx}];b=SparseArray[{{i_}/;(1≤  i≤  Nx)->-10},{Nx Nx}])]

OTRO EJEMPLOS EN: WOLFRAM DEMOSTRATIONS

Manipulate[
GraphicsColumn[{
 Plot[Exp[-t] b1 Sin[x]+b2 Exp[-4t]  Sin[2x]+b3 Exp[-9t]  Sin[3x]+b4 Exp[-16t]  Sin[4x]+b5 Exp[-25t]  Sin[5x],{x,0,Pi},ImageSize->200,Ticks->{{0,π/2,π},{0,1,-1,-5,5}},PlotRange->{-5,5},AspectRatio->3/4 ,PlotStyle->{Thickness[0.01]},ColorFunction->(ColorData["TemperatureMap"][((1/2)+#2/10)]&),ColorFunctionScaling->False,Background->RGBColor[.25,.43,.82],ImageSize->{400,400} ] ,
ParametricPlot[{u,0},{u,0,Pi},Ticks->{{0,Pi,Pi/2},{}},Axes->{True,False},PlotStyle->{Thickness[0.1]},
ColorFunction->(ColorData["TemperatureMap"][((1/2)+(b1 Exp[-t]Sin[#3]/10)+(b2 Exp[-4t]Sin[2#3]/10) +(b3 Exp[-9t]Sin[3#3]/10) +(b4 Exp[-16 t]Sin[4 #3]/10) +(b5 Exp[-25 t]Sin[5 #3]/10))]&),ColorFunctionScaling->False ,Epilog->{Line[{{0,.15},{Pi,.15},{Pi,-.15},{0,-.15},{0,.15}}]}]},Center,-10,ImageSize->{400,400}],
Style["Coeficiente de Fourier sinusoidal\n de la temperatura inicial",Bold],
{{b1,1,"(Subscript[b, 1])"},-1,1,.01,ImageSize->Tiny,Appearance->"Labeled"},
{{b2,0,"(Subscript[b, 2])"},-1,1,.01,ImageSize->Tiny,Appearance->"Labeled"},
{{b3,0,"(Subscript[b, 3])"},-1,1,.01,ImageSize->Tiny,Appearance->"Labeled"},
{{b4,0,"(Subscript[b, 4])"},-1,1,.01,ImageSize->Tiny,Appearance->"Labeled"},
{{b5,0,"(Subscript[b, 5])"},-1,1,.01,ImageSize->Tiny,Appearance->"Labeled"},Delimiter,
{{t,0,"time"},0,2,.01,ImageSize->Tiny,Appearance->"Labeled"},
ControlPlacement->Left,AutorunSequencing->{1,3,5}]

EJEMPLO DE SOLUCIÓN NUMÉRICA.ABAQUS

?Button

Button[Style[,"Hyperlink"],NotebookLocate[{URL["https://onedrive.live.com/?authkey=!AMZMy9Evl2q0Kzo&id=7EDB1EC9396CB4A3!4111&cid=7EDB1EC9396CB4A3"],None}],Appearance->None]

Solución mediante gráficas.

Grid[{{"Yesterday’s engineers spent a major portion of their time substituting values into the formulas and obtaining numerical results. Now, however, formula manipulations and number crunching are being left to computers. Tomorrow’s engineer will have to have a clear understanding and a firm grasp of the basic principles so that he or she can understand even the most complex problems,formulate them, and interpret the results.
Yunus A. Cengel.",
"En el pasado los ingenieros pasaban la mayor parte de su tiempo sustituyendo valores en las fórmulas y obteniendo resultados numéricos. Actualmente, sin embargo, la manipulación de las fórmulas y los números es tarea de las computadoras. El ingeniero del futuro tendrá que tener una comprensión clara y sólida de los principios básicos que le permitan entender incluso los problemas más complejos, formularlos e interpretar sus resultados.
Yunus A. Cengel."
}}]

Solución mediante gráficas.

Durante cierto día de otoño, la temperatura del suelo tiene un valor constante de 15.6 °C (6.0 °F) hasta una profundidad de varios metros. Una onda fría reduce repentinamente la temperatura del aire de 15.6 hasta unos -17.8 °C (0 °F)). El coeficiente convectivo por encima del suelo es ll .36 W/(m^2)  °K. Las propiedades del suelo son: α = 4.65 x (10^(-7)) (m^2)/s  y k= 0.865 W/m  °C K . Desprecie los efectos del calor latente para encontrar: 

a) ¿Cuál será la temperatura de la superficie después de 5 h?
b) ¿Hasta qué profundidad del suelo penetrara la temperatura de congelación de 0 °C en 5 h?

EL MÉTODO DE LAS GRÁFICAS

t1=;
Grid[{{t1,"Es el mismo problema del que dimos la solución analítica, Viajando al pasado, el problema se puede resolver usando tablas. Hay tablas para diferentes geometrías y condiciones. En este caso transporte convectivo. Los valores a la frontera e iniciales se reflejan en las distintas curvas."}}]

SOLUCIÓN

Para usar la tabla es necesario calcular los parámetros
(x/(2(Sqrt[α t])))       ((h(Sqrt[α t]))/k)
Para la pregunta del a, x=0 y por lo tanto también (x/(2(Sqrt[α t])))
Sustituyendo los valores numéricos:
 ((h(Sqrt[α t]))/k)=((11.36(Sqrt[(4.65*(10^(-7)))(5*3600)]))/0.865)=1.2
Con lo que podemos ir a buscar en la tabla,el valor correspondiente de la temperatura adimensional y despejando:T=267.76 K o-5.44°C

Para la pregunta del b, T =273.2K o 0°C y se desconoce la distancia x. Sustituyendo los valores conocidos
((T-(Subscript[T, 0]))/((Subscript[T, 1])-(Subscript[T, 0])))=((273.2-288.8)/(255.4-288.8))=0.467

Para ((T-(Subscript[T, 0]))/((Subscript[T, 1])-(Subscript[T, 0])))=0.467   y   ((h(Sqrt[α t]))/k) =1.2   se lee en la figura un valor de 0.16 para (x/(2(Sqrt[α t]))). Por consiguiente
(x/(2(Sqrt[α t])))=(x/(2(Sqrt[(4.65*(10^(-7)))(5*3600)])))=0.16
x=0.162(Sqrt[(4.65*(10^(-7)))(5*3600)])=0.293m(0.096pie)

Placa infinita de espesor 2X1 con pérdida por convección

El calor sólo es conducido en la dirección x desde las dos superficies planas. La temperatura inicial de la placa es (Subscript[T, 0]). El sólido se expone a una temperatura ambiental (Subscript[T, 1]) Existe en las fronteras transferencia de calor por convección
El detalle del cálculo analítico puede verse en el Kreith:

Temperatura en el centro de una placa plana grande

Ejemplo

Conducción de calor en una barra de mantequilla
Una barra rectangular de mantequilla con 46.2 mm de espesor y temperatura de 277.6 K
(4.4 “C) se extrae de la nevera y se coloca en un medio ambiente a 297.1 K (23.9 “C). (Puede considerarse que los lados y el fondo de la mantequilla están aislados por las paredes del recipiente. Por tanto, el área expuesta al medio ambiente es la superficie plana superior de la mantequilla.) El coeficiente convectivo es constante y tiene un valor de 8.52 W/m* . K. Calcule la temperatura de la mantequilla en la superficie a 25.4 mm por debajo de la superficie y a 46.2 mm por debajo de la superficie en el fondo aislado, después de una exposición de 5 h.

REFERENCIAS

Conducción de calor en una aleta de enfriamiento por Rafael Fernández Flores (Universidad Nacional Autónoma de México) se distribuye bajo una Licencia Creative Commons Atribución-NoComercial-CompartirIgual 4.0 Internacional.

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE110517