INTRODUCCIÓN AL TRANSPORTE DE ENERGÍA POR RADIACIÓN

PROBLEMA

Todos  los objetos, por razón de su temperatura, radian energía.

¿Cómo se distribuye la energía radiada en las diferentes secuencias?

OBJETIVOS

Conocer que es la transferencia de energía por radiación.

Entender el concepto de cuerpo negro y cuerpo gris.

Conocer la distribución de Planck.

Saber calcular la cantidad de energía radiada en una zona dada del espectro.

Usar la ley de Wien para calcular la longitud de onda del máximo de la distribución.

MENÚ

• ¿Qué es la radiación?

• Planck y la revolución cuántica

• Ley de Wien

¿QUÉ ES LA RADIACIÓN?

Module[{im1, tx1, tx2, im2, tx3},im1 = ;
tx1 = Style["La energía asociada a las ondas electromagnéticas",18, FontFamily->"Source Sans Pro",TextAlignment->Center];
tx2 = Style["

Empecemos con el espectro de radiación térmica",22, FontFamily->"Source Sans Pro",Bold, TextAlignment->Center];
im2 = ;
tx3 = Framed[Style["C = λν 
El espectro de radiación térmica es parte del espectro electromagnético",18, FontFamily->"Source Sans Pro", TextAlignment->Center], Background->LightBlue, FrameStyle-> Blue];
Column[{Grid[{{im1,tx1}}],tx2,Grid[{{im2,tx3}}]}]]

La radiación térmica ocurre en ciertas frecuencias.

EL ESPECTRO VISIBLE

colores =Grid[{{"",Style["Color",16],Style["Rango Inf (nM)",16],Style["Rango Sup (nM)",16],Style["Λ media (Nm)",16],Style["Frecuencia (THz)",16]},{Style["2",16],Style["Rojo",16], Style["625",16],Style["740",16],Style["682.25",16],Style["439.56",16]},{Style["3",16],Style["Naranja",16], Style["590",16],Style["625",16],Style["607.5",16],Style["493.83",16]},{Style["4",16],Style["Amarillo",16], Style["565",16],Style["590",16],Style["577.5",16],Style["519.48",16]},{Style["5",16],Style["Verde",16], Style["520",16],Style["565",16],Style["542.5",16],Style["553.00",16]},{Style["6",16],Style["Azul",16], Style["450",16],Style["500",16],Style["475",16],Style["631.58",16]},{Style["7",16],Style["Añil",16], Style["430",16],Style["450",16],Style["440",16],Style["681.82",16]},{Style["8",16],Style["Violeta",16], Style["380",16],Style["430",16],Style["405",16],Style["740.74",16]}}, Frame -> All, Background-> {None, None,{{2,1}->Red, {3,1}-> Orange, {4,1}-> Yellow, {5,1}-> RGBColor[0.51,0.8,0.19], {6,1}-> RGBColor[0.52,0.74,0.91], {7,1}-> RGBColor[0.,0.23,0.3], {8,1}-> RGBColor[0.27,0.19,0.37]}}]

ACTIVIDAD

• Utilizar los datos de la tabla anterior para calcular la velocidad de la luz en el vacío.
• ¿Qué longitud de onda tiene una radiación de 2.4 Ghz (Wi-Fi)?
•  ¿En qué parte del espectro se ubica?

¿El color de la radiación indica la temperatura? 
 		
 El espectro de la radiación del cuerpo negro.

Distribución de la energía radiada por un cuerpo a temperatura T según la longitud de onda. Según el color (en la parte visible del espectro) .

PLANCK Y LA REVOLUCIÓN DE LA FÍSICA CUÁNTICA

En 1900 Max Planck propone una fórmula para explicar el espectro de radiación de cuerpo negro.

Esa hipótesis es la de la cuantización de la energía y dio origen a toda una nueva rama de la física: La mecánica cuántica.

¿Qué es el cuerpo negro?

¿Que es el espectro de radiación de cuerpo negro?

¿Cuál fue la hipótesis de Planck?

¿Qué repercusiones tiene la hipótesis de Planck en el estudio de la transferencia de calor por radiación?

INTERACCIÓN CON LA RADIACIÓN DE LA MATERIA.

ABSORCIÓN

Framed[
Style["Absorción: cuando la adición de energía radiante a un sistema atómico o molecula da lugar a que el sistema pase a un estado más elevado de energía.", 16, White, FontFamily-> "Source Sans Pro"],FrameStyle->RGBColor[0.2,0.41,0.66], Background->RGBColor[0.2,0.41,0.66]]

Coeficiente de absorción: fracción de la radiación que se absorbe 

			a = ((q^((a)))/(q^((i)))) 			aν = (((Subscript[q, ν])^((a)))/((Subscript[q, ν])^((i)))) 
Existe el coeficiente de absorción para cada frecuencia v.

El cuerpo negro es una idealización de un cuerpo que absorbe toda la energía que recibe su coeficiente de absorción por lo tanto es 1.

EMISIÓN Y LEY DE KIRCHHOFF

Todas las superficies sólidas emiten energía radiante  (q^((a))) (Por unidad de tiempo y unidad de área).

La cantidad de energía emitida por un cuerpo negro se denota por ((Subscript[q, b])^((a))) y se usa como referencia para definir la emisividad de cualquier otro cuerpo.

				e = ((q^((a)))/((Subscript[q, b])^((e)))) 			eν = (((Subscript[q, ν])^((a)))/((Subscript[q, bν])^e)) 
				
Ley de Kirchhoff: Para una temperatura dada e = a de manera global y para cada frecuencia.

LEY DE KIRCHHOFF

Si llamamos  ((Subscript[q, b])^((e))) a la emisión del cuerpo negro tendremos: 
	e = ((q^((e)))/((Subscript[q, b])^((e)))) 			eν = (((Subscript[q, ν])^((e)))/((Subscript[q, bν])^e))
	
A “e” se le conoce como la emisividad 

Para una T dad la emisividad e, es igual a la absorbencia de manera global y para cada frecuencia (Ley de Kirchhoff).

¿QUÉ ES EL CUERPO NEGRO (GRIS)?

Module[{im3, im4, tx4, tx5}, im3 = ; im4 = ; tx4 = Framed[Style["CUERPO GRIS:
El que absorbe la misma fracción de la radiación incidente, cualquiera que sea la frecuencia.", 15,FontFamily-> "Source Sans Pro", TextAlignment->Center, White], FrameStyle->RGBColor[0.2,0.41,0.66], Background->RGBColor[0.2,0.41,0.66]];
tx5 = Framed[Style["CUERPO NEGRO:
Caso límite en el que a = 1 para todas las frecuencias y temperaturas", 15,FontFamily-> "Source Sans Pro",White, TextAlignment->Center], FrameStyle->RGBColor[0.2,0.41,0.66], Background->RGBColor[0.2,0.41,0.66]];
Grid[{{im3},{tx4},{im4},{tx5}}, Alignment->{Center, {Center}}]]

RADIACIÓN DE UNA CAVIDAD

Module[{im5, tx6, tx7}, im5 = ;
tx6 = Style["• En una cavidad isotérmica, con un pequeño orificio.
• La radiación es independiente de la naturaleza de las paredes y varía solamente con la temperatura de las mismas.
• Se le puede usar para obtener una excelente aproximación de un cuerpo negro.
• La siguiente relación expresa la emisividad efectiva del orificio (Subscript[e, orif]) en función de la emisividad real e de las paredes de la cavidad, y la fracción f del area interna total de la cavidad que se elimina:", FontFamily-> "Source Sans Pro", 15, TextAlignment->Left];
tx7 = Style["
Si e = 0.8  y  f = 0.001, el calor de (Subscript[e, orif]) resulta 0.99975
Por lo tanto, se absorberá el 99.975 por ciento de la radiación que incide sobre el orificio.", FontFamily->"Source Sans Pro", 15, TextAlignment->Center];
Grid[{{im5, tx6}}, Alignment->{Center, Center}]
tx7]

PLANCK

E = hν  (h la constante de Planck , cuyo valor es  6.65 x (10^(-27)) erg por segundo)



(Subscript[E, λ,b])(λ,T) = ((Subscript[C, 1])/((λ^5)[exp((Subscript[C, 2])/λT)-1]))

(Subscript[q, bλ]^((e))) = (((2π (c^2)h) )/(λ^5)) (1/(e^(ch/λKT - 1))) 			dónde  (Subscript[C, 1]) = 2π (c^2)h,	 	(Subscript[C, 2]) = ch

(Subscript[C, 1]) = 2(Subscript[π, 0]^2) = 3.4715 x (10^(-16)) (Wm^2)

(Subscript[C, 2]) = 1.4388 x (10^(-2))mK

ACTIVIDAD

1. 	Utilizar el simulador de la distribución de Planck para graficar la distribución potencia para diferentes valores de temperatura.

2. 	En cada caso indica el valor de la longitud de onda que corresponde al máximo de la distribución.

Simulador de Planck

Manipulate[Module[
{h,C0,C1,K,C2,σ,ζ,F},

h:=6.626*(10^(-34));
C0:=2.998*(10^8);
C1=3.742*(10^8);
K:=1.381*(10^(-23));
C2=1.439*(10^4);
σ:=(2*(Pi^5)*(K^4))/(15*(C0^2)*(h^3));
ζ:=(h*C0/K)/(λT*1*(10^(-6)));


F[x_]:=C1/((x^5)*(Exp[C2/(x*T)]-1));


Switch[ctrl, 

1,
Plot[ 
F[x],
{x,λmin,λmax},
PlotRange->{{λmin, λmax},{Fmin, Fmax}},
Frame-> True,
ImageSize-> {500,300},
PlotStyle-> {Thick},
GridLines-> Automatic,
FrameLabel-> {Style["λ , μm",Bold,15],Style["E(λT) [W/((m^2)*μm)]",Bold,15]}],
2,

TextCell[
Row[{"Fracción de radiación",ExpressionCell[Evaluate[
(15/(Pi^4))*((∑_(i=1)^10)(((Exp[-i*ζ])/i) *((ζ^3)+((3*(ζ^2))/i)+(6*ζ/(i^2))+(6/(i^3)))))],

CellAutoOverwrite-> False,
CellFrame->True]}]
]
]
],


TextCell[Text[Style["  Distibución de Planck y fracción del total de radiación emitida desde un cuerpo negro en un intervalo de longitud de onda  ",Bold,18]]],
{{ctrl,1," "},{1-> "Poder emisivo de un cuerpo negro",2-> "Fracción de radiación"}},
{{T,4000,"Temperatura, k"},400,6000,Appearance-> "Labeled"},
{{λT,5000,"λT, μm*k"},200,200000,Appearance-> "Labeled"},

" "," ","                                                      Control del eje Longitud de onda λ [μm]",
{{λmin,0,"Mínimo"},0,50,Appearance-> "Labeled"},
{{λmax,10,"Máximo"},10,100,Appearance-> "Labeled"},

" "," ","                                                      Control del eje E(λT) [W/((m^2)*μm)]  ",
{{Fmin,0,"Mínimo"},0,(10^2),Appearance-> "Labeled"},
{{Fmax,1.5*(10^7),"Máximo"},(10^2),(10^8),Appearance-> "Labeled"},
AppearanceElements->"ResetButton"
]

TODO CUERPO RADIA PERO NO TODOS SON CUERPO NEGRO

LA VIDA REAL

EMISIVIDAD

(q^((e))) = e (Subscript[q, b]^((e))) 	(e es la emisividad)

La emisividad depende de la frecuencia y del ángulo de emisión.

Las superficies metálicas no oxidadas y limpias poseen emisividades del orden de 0.8

Para casi todos los materiales la emisividad con la temperatura.

CRITERIO PARA LA <<GRISURA>> DE UN CUERPO RADIANTE.

im6 = ; IM7 = ;
texto1 = Style["• La emisividad varía con la longitud de onda.

• La emisividad varía con el terminado del material.

• La emisividad como función de la temperatura es un buen criterio.",15, FontFamily->"Source Sans Pro"];
Grid[{{im6, texto1}, {IM7}}, Alignment->{Left,Center}]

Datos de emisividades

La emisividad de varios materiales. (G.G Gubarel, J. E. Janssen y R.H. Toborg, Thermal Radiation Properties Survey, Honeywell Research Center, Mineapolis, MN, 1960.)

Algunos ejemplos (tomados del Bird)

INTERLUDIO: UNA DISTRIBUCIÓN YA CONOCIDA; LA DE GAUSS

G1 = ; G2 = ;
Grid[{{G1,"","",G2}}, Alignment->Center]

SEMEJANZA Y DIFERENCIA DE LAS DOS FUNCIONES

im7 = ;
texto2 = Style["1. Las dos son funciones de distribución. Una función de distribución indica la manera como se distribuye una propiedad (eje y) entre diferentes valores de una variable (eje x)
2. La distribución de Gauss es una distribución de probabilidad
3. La distribución de Planck es una distribución de energía (eje y) entre diferentes longitudes de onda (eje x)
4. Las distribuciones pueden ser simétricas o no. La de Gauss lo es, la de Planck, no.
5. En las distribuciones simétricas las medidas de tendencia central (media, mediana y moda) soinciden
6. La integral de la función de distribución entre dos valores de la propiedad en estudio mide la cantidad de esa propiedad que se encuentra entre esos dos valores
7. La integral de la función de distribución en todo el dominio mide la cantidad total de esa propiedad.", FontFamily->"Source Sans Pro", 15];
Grid[{{im7,texto2}}, Alignment->{Left, Center}]

EJEMPLO

conector = ;
ej = Style[" El voltaje de ruptura de un diodo seleccionado al azar está normalmente distribuido. ¿Cuál es la probabilidad de que el voltaje de ruptura de un dioido esté dentro de una desviación estándar de su valor medio?", 15, FontFamily->"Source Sans Pro"];

Grid[{{conector,"",ej}}, Alignment->{Left, Left}]

SOLUCIÓN

Se trata de encontrar el área bajo la curva de la distribución normal estándar entre los valores -1 y 1.

Para eso existen varios métodos:
a) A la antigua, usando tablas.
b) Usando Excel.
c) Usando Mathematica.

USO DE TABLAS

Framed[Style["El área entre    - ∞   y    -1   es de   0.1587
Lo mismo ocurre con el área entre 1  e  ∞
 Por lo tanto el área entre -1  y  1  será 
1 – 2(0.1587) = 0.6826", 18, FontFamily->"Source Sans Pro", TextAlignment->Center], FrameStyle->RGBColor[0.2,0.41,0.66], Alignment->Center]

USO DE EXCEL

USO DE MATHEMATICA

LEY DE STEFAN-BOLTZMAN

((Subscript[q, bλ])^((e)))dλ  esa cantidad de energía por unidad de área y de tiempo que emite una superficie negra en el intervalo de la longitud de onda comprendido entre  λ  y  λ+dλ

Integrada a lo largo de todo el dominio, da la cantidad de energía total por unidad de área y de tiempo.

σ, la constante de Stefan- Boltzmann es 4.878 x (10^(-8)) kacl (hr^(-1)) (m^(-2)) ((ºK)^(-4))  o bien 1.355 x (10^(-12)) cal (seg^(-1)) (cm^(-2)) ((ºK)^(-4))

EMISIÓN EN UNA BANDA DE FRECUENCIAS (LONGITUDES DE ONDA)

em = ;
em1 = Style["F(0→λ)= \!\(\*FractionBox[\(\*SubsuperscriptBox[\(∫\), \(0\), \(λ\)]\*SubscriptBox[\(E\), \(λ, b\)] \(\(\[DifferentialD]λ\)\(\\ \)\)\), \(\*SubsuperscriptBox[\(∫\), \(0\), \(∞\)]\*SubscriptBox[\(E\), \(λ, b\)] \[DifferentialD]λ\)]\) = \!\(\*FractionBox[\(\*SubsuperscriptBox[\(∫\), \(0\), \(λ\)]\*SubscriptBox[\(E\), \(λ, b\)] \(\(\[DifferentialD]λ\)\(\\ \)\)\), SuperscriptBox[\(οT\), \(4\)]]\) = (∫_0^(λT))(((Subscript[E, λ, b]) λ)/((σT)^5))\[DifferentialD](λT)=f(λT)

\!\(\*SubscriptBox[\(F\), \((\*SubscriptBox[\(λ\), \(1\)]\\  → \\ \*SubscriptBox[\(λ\), \(2\)])\)]\)=\!\(\*FractionBox[\(\*SubsuperscriptBox[\(∫\), \(0\), SubscriptBox[\(λ\), \(2\)]]\*SubscriptBox[\(E\), \(λ, b\)] \[DifferentialD]λ\\  - \\ \*SubsuperscriptBox[\(∫\), \(0\), SubscriptBox[\(λ\), \(1\)]]\*SubscriptBox[\(E\), \(λ, b\)] \(\(\[DifferentialD]λ\)\(\\ \)\(\\ \\ \)\)\), SuperscriptBox[\(σT\), \(4\)]]\) = \!\(\*SubscriptBox[\(F\), \((0\\  → \\ \*SubscriptBox[\(λ\), \(2\)])\)]\)-\!\(\*SubscriptBox[\(F\), \((0\\  → \\ \*SubscriptBox[\(λ\), \(1\)])\)]\)",20,FontFamily->"Source Sans Pro"];
Grid[{{em, em1}}, Alignment->{Left, Center}]

VALORES

Module[{im1, tx1, im2,c1},
im1 = ;
im2 = ; 
 tx1 = Style["También en este caso existen varios métodos:

a) A la antigua, usando tablas
b) Usando Excel
c) Usando Mathematica.

",16, FontFamily->"Source Sans Pro",TextAlignment->Left];
c1 = Column[{tx1,im1}];
Grid[{{c1,"","",im2}}, Alignment->{Center,Center}]]

VALORES CON MATHEMATICA

EJERCICIO

Una cavidad se mantiene a una temperatura de 2000K.  A través de un pequeño orificio en la cavidad emerge radiación térmica.

1. Calcule su potencia de emisión.

2. ¿Cuál es el valor de (Subscript[λ, 1]) tal que el 10% de la radiación se encuentra por debajo de ese valor?

3. ¿Cuál es el valor de (Subscript[λ, 2]) tal que el 10% de la radiación se encuentra por debajo de ese valor?

4. ¿Cuál es la irradiación recibida por un objeto pequeño que se encuentra dentro de la cavidad?

SOLUCIÓN

1. ESQUEMA

La cavidad radiante es una buena aproximación al cuerpo negro, por lo tanto:

E = (Subscript[E, b])(T) = ((σT)^4) = 5.670(x10^(-8))W/(m^2)·(((K^4)(2000 K))^4)

E = 9.07 x (10^5)W/(m^2)

2. Y 3. VALORES DE  (Subscript[λ, 1])  y  (Subscript[λ, 2])

Grid[{{," "," ",}},Alignment->Left]

4. MÁXIMO DE LA POTENCIA DE EMISIÓN.

• Por ley de Wien: (Subscript[λ, max])T = 2898 μm·K
• Como T = 2000   entonces (Subscript[λ, max])= 1.45 μm
• Conociendo ese valor de λ y  usando la ecuación 
 
 (Subscript[E, λ,b])(λ,T) = π (Subscript[I, λb]) = ((Subscript[C, 1])/((λ^5)[exp((Subscript[C, 2])/λT)-1]))
 
 puede calcularse (Subscript[E, λ,b])= 4.12 x (10^5)W/(m^2)·μm
 • Alternativamente usando los valores de la tabla para (Subscript[I, λb])

IRRADIACIÓN RECIBIDA

•La cavidad se comporta como un cuerpo negro por lo tanto la irradiación sobre el objeto pequeño será:
 ((Subscript[q, b])^((e)))= ((σT)^4)
 5.67(x10^(-8))·(((2000))^4)=9.07(x10^5)W/(m^2)·μm

SOLUCIÓN DEL 3.

• Para resolver este inciso grafiquen los datos que obtuvieron al usar el simulador y calcular el máximo de la curva de la distribución de Plank en función de la longitud de onda.

LEY DE DESPLAZAMIENTO DE WIEN

EJEMPLO. TEMPERATURA Y EMISIÓN DE LA ENERGÍA RADIANTE DEL SOL

Module[{im1 , tx},im1 = ;
tx = Style["
El sol puede considerarse como un cuerpo negro que emite radiación con una intensidad máxima para λ = 0.5 micrones (5000 A)
Estimar:
a) La temperatura de la superficie del Sol.
b) La densidad de flujo calorífico que emite la superficie del Sol.",15, FontFamily->"Source Sans Pro",TextAlignment->Left];
Grid[{{tx,"",im1}}, Alignment->{Left, Center}] ]

SOLUCIÓN

a) A partir de la ley de desplazamiento de Wien

T = (0.2884/(Subscript[λ, max])) = (((0.2884 cmºK))/((o.5 x (10^(-4))cm))) = 5760ºK = 10400ºR

a) A partir de la ley de Stefan-Boltzmann

((Subscript[q, b])^((e)))= ((σT)^4)
	= (4.878(x10^(-8)))(((5760))^4)
	= 5.4(x10^7)kcal (hr^(-1))(m^(-2))

LA RADIACIÓN TÉRMICA Y EL ESPECTRO VISIBLE

EJERCICIO

Utiliza los valores de la tabla siguiente, junto con la g´ráfica de la dispositiva anterioir para decir a qué color equivale una temperatura a) de 800ºK b) de 100ºK. ¿Para qué temperatura el mmáximo de la radiación ocurre en la parte visible del espectro?

im8 = ; Grid[{{im8,colores}},Alignment->Left]

SOLUCIÓN

1.  Observando la gráfica se ve que un cuerpo a una temperatura de 800 K en la única zona del espectro visible en la que emite radiación está alrededor de 0.6 μm, que corresponden al color rojo.

2.  En la gráfica se observa que un cuerpo a la temperatura de 1500 K ya emite en toda la gama de frecuencias (longitudes de onda) del espectro visible, por lo tanto le corresponde el color blanco.

3. En la gráfica se aprecia que esto ocurre para una temperatura de 5880 K

solu = ; Grid[{{solu}}, Alignment->Left]

ADICIONALES

Module[{im1 , txt},im1 = ; 
txt = Style["• Capítulo 12 del Incropera «Fundamentals of heat and mass transfer»

• Capítulo 9 del Kreith «Principios de transferencia de calor»

• Capítulo 14 del Bird «Transport Phenomena»

• Transport Phenomena in Metallurgy (Geiger-Poirier)

• http://desarmandolamafia.blogspot.mx/2018/03/catastrofe-ultra-blanca.html

",15, FontFamily->"Source Sans Pro",TextAlignment->Left];
Grid[{{im1,txt}}, Alignment->{Left,Left}]]

Module[{im, txt1}, im = ; 
txt1 = Style["• El color puede utilizarse para estimar la temperatura de los metales bajo tratamiento térmico. Rojo 800 K.  Blanco 1, 500 K

• El valor de σ es relativamente pequeño 
5.670(x10^(-8))W/(m^2)(K^4) por lo tanto a temperatura   ambiente puede despreciarse el efecto de la radiación.

• A 300 K el flujo de energía radial es de: 
5.670(x10^(-8))W/(m^2)(K^4)(300)^4 = 460 W/(m^2)

• Esto es aproximadamente  0.1 veces la cantidad de calor transmitida por convección.

", 15, FontFamily->"Source Sans Pro",TextAlignment->Left];
Grid[{{im,txt1}}, Alignment->{Left,Left}]]

Module[{ima , t },ima = ;
t = Style["• Capítulo 12 del Incropera «Fundamentals of heat and mass transfer»

• Capítulo 9 del Kreith «Principios de transferencia de calor»

• Capítulo 14 del Bird «Transport Phenomena»

• Transport Phenomena in Metallurgy (Geiger-Poirier)

• http://desarmandolamafia.blogspot.mx/2018/03/catastrofe-ultra-blanca.html

",15,FontFamily->"Source Sans Pro",TextAlignment->Left];
Grid[{{ima, t}}, Alignment->{Left,Left}]]

CUESTIONARIO 💡

1.	¿Qué es un cuerpo negro?
2.	¿Qué es el espectro de radiación de un cuerpo negro?
3.	¿Existen los cuerpos negros en la naturaleza? 
4.	¿Qué es la emisividad? 
5.	¿Qué es la absorbancia?
6.	¿Qué dice la Ley de Kirchhoff?
7.	¿Qué materiales poseen mayor emisividad?
8.	¿Qué materiales poseen menor absorbancia?
9.	¿Qué es un cuerpo gris? 
10.	¿Existen los cuerpos grises en la naturaleza?
11.	¿Cómo se calcula la cantidad de energía radiada en cierta región del espectro electromagnético? 
12.	¿Qué utilidad puede tener el observar el color de un metal en tratamiento térmico? 
13.	¿A temperatura ambiente qué mecanismo de transferencia de calor es más importante, la convección o la radiación? 
14.	¿ A qué se le llamó la catástrofe ultravioleta? 
15.	¿Cómo se resolvió la catastrofe ultravioleta?
16.	¿Qué dice la ley de Stefan-Boltzmann? 
17.	¿Cuál es la relación de la ley de Stefan-Boltzmann con la distribución de Planck?
18.	¿En qué intervalo de frecuencias ocurre la radiación térmica?
19.	¿En qué intervalo de longitudes de onda ocurre la radiación térmica?
20.	¿Qué dice la ley de Wien? 
21.	¿Qué importancia tiene la ley de Wien?

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE110517